上古点格图研究|古今数学：古老的约分与通分

文/李建恒[20241015]

在某“小学生数学词典”中，有关“约分”“通分”的内容能介绍十几页，不太适合小学生背记。

——约分。是把分子分母同除以一个数,以期得到简化后的分数。

——通分。把几个异分母分数化成与原来分数相等且分母相同的分数。

下面，我们用上古时期的“数列格式盘”进行约分与通分。

与约分、通分相关的词语有公约数与最大公约数，公倍数与最小公倍数，现举例说明。

[求最大公约数] 《九章算术》第一章第六题：“又有九十一分之四十九。问约之得几何？荅曰：十三分之七。”

约分术曰：①可半者半之，②不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

古法约分

结合此题讲述约分的法则:

①可半者半之。这句话的意思是：若分子、分母均为偶数时，可先除以2。

②不可半者……以等数约之。这段话的意思是：否则，将分母与分子分列一处，然后以大减小，辗转相减，求它们的最大公约数，用最大公约数去约简分子与分母。

“更相减损”也叫“辗转相减”，与“辗转相除法”同义。

“更相减损”求最大公约数的具体方法：欲求49与91的最大公约数，将两数分列一处。先由91-49，余42，再由49-42，余7;进一步由42-7五次余7，结果左右两边余数相等。这相等的余数7就是49和91的最大公约数。

[求最小公倍数] 最小公倍数等于两个数的积除以它们的最大公约数。

《算法统宗》中将《孙子算经》中的一道题改版为“河边洗碗歌”，即：妇人洗碗在河滨，试问家中客几人？答曰不知人数目，六十五碗自分明。二人共食一碗饭，三人共喫一碗羹。四人共肉无余数，请问布算莫差争。

结合此题进行通分并计算:

每个客人用的碗数，等于1/2+1/3+1/4，其最小公倍数为12，碗数为13/12。

65÷13/12=65×12/13=780/13=60

答曰：“六十人。”

古法通分