【河东文化】古今数学：你真的了解“小数”吗？——文/李建恒

【河东文化】古今数学：你真的了解“小数”吗？

文/李建恒[20240905]

在小学三年级数学课本上册(北师大版)中有一个“小贴士”(知识卡片)，其上称“小数的名称是我国元代数学家朱世杰最先提出的。”

在小学四年级数学课本下册(北师大版)中也有一个“小贴士”，意思是说“魏晋数学家刘徽说的‘微数’即有小数的意思。”

如何理解这两个“知识卡片”上的不一致性？

首先，我们看一下元代数学家朱世杰所说的“小数”。

元代数学家朱世杰在《算学启蒙》开篇提到了“大数之类”和“小数之类”。

大数之类 凡数之大者，天莫能盖，地莫能载，其数不能极，故谓之大数也。

小数之类 凡数之小者，视之无形，取之无像，数亦不能尽，故谓之小数也。

显而易见，这里的“小数”是相对于“大数”而言的，与我们今天所说的“小数”并不相同。

其次，我们看一下魏晋数学家刘徽所说的“微数”。

魏晋数学家刘徽在注解《九章算术》“开方术”时提到“微数”，即：微数无名者以为分子。其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细。

刘徽所说的“微数”，其表示方法有“专名”和“无名”两种。比如：1.55尺的长度表示为一尺五分五厘，这里的“五分五厘”就是微数部分。为了提高测量或计算的精确度，就需要对“微数”增加取位，越往后，单位越小，如：分、厘、毫、糸、忽、微、纤、沙、尘、埃、渺、漠、模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那、六德、虚空、清净、阿赖耶、阿摩罗、涅槃寂静等。如果每个更小的单位都要取一个专用名，显然不是办法。因此，刘徽提出在专用名“忽”以后的部分，皆是“无名”。

显而易见，元代数学家朱世杰所说的“小数”与魏晋数学家刘徽所说的“微数”非常相像，均表示“微小数值”。

最后，我们从小学数学课本上归纳一下“小数定义”和“小数的意义”。

小数定义 把整数1平均分成10份，100份，1000份……，这样的一份或是几份是十分之几、百分之几、千分之几……，把十分之几、百分之几、 千分之几……写成不带分母的形式的数，叫做小数。

小数的意义

(1)小数由整数部分、小数部分和小数点组成。

(2)分母是10、100、1000等的分数可以用小数表示。

(3)计数单位：小数的计数单位是十分之一(0.1)，百分之一(0.01)，千分之一(0.001)……

(4)进率：每相邻两个计数单位间的进率都是10，整数部分的“1”和小数部分的“十分之一”之间的进率也是10。

(5)小数的数位是十分位、百分位、千分位……最高位是十分位。整数部分的最低位是个位。个位和十分位的进率是10。

这里有一个很重要的概念，即：“小数是十进制分数的一种特殊表现形式。”那么，对于二进制、二十进制、六十进制(如时分秒) ……，它们有没有“小数”？

小结一下：

①有关“小数”的定义和意义，网上至少有两派在争议，现阶段，我们只能取用数学课本上的内容。

②我国乃至世界的数学发展史被严重扭曲，我国的古老算术是世界数学史上的“鼻祖”(证据就在中原岩画的“点格图”上)，由于近代有一种“知爹不知爷、找父不找祖”的思潮(如欧几里得是几何之父、韦达是代数学之父、毕达哥拉斯是勾股定理之父)，而数学史上的祖师爷却成了陈旧、落后的“旁系”。

③我们自身在找证据时存在“不到位”现象。比如刘徽在《九章算术》序中说：“往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。”

再如明末清初的黄宗羲认为：西方的几何学来源于《周髀算经》的勾股之学；西方数学中的一些概念方法不过是对中国古代算术的窃取和修改。

刘徽和黄宗羲这些带指导性的论述是否得到了我们的重视？这是其一，其二，许多概念术语、计算方法出现的年代与成书的年代存在很大的时间差，我们不能以成书的年代作为某一术语(比如“小数”)出现的年代。