上古点格图研究|古今数学：余数找生母

先讲一则小故事：过节了，公司老板买了170个苹果分给30位员工，并让会计公示了分配方案：

170÷30=17÷3=5……2(余2)

老板让会计把苹果分给员工，并告知会计：剩下的咱俩平分。

问：老板和会计各得多少个苹果？

按照员工每人分5个、余数为2的计算结果，老板和会计各得1个苹果。

但实际情况是，30位员工共分得5×30=150个苹果，

170-150=20，20-2=18，这18个苹果哪去了？

首先，我们来分析170÷30=17÷3是否有错。

商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外)商不变。被除数或除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)商不变。

按照“商不变的性质”，被除数170和除数30同时缩小10倍商不变。所以，这个算式没错。

其次，我们来分析17÷3=5……2是否有错。

根据余数的性质:两个整数相除,余数一定小于除数。正确！

我们来验算一下5×3+2=17，也没错！

第三，余数是不是商？

对于这个问题，网上有人回答：“是”。也有人回答“不是”。

这里，我们需要弄清楚商和余数的关系：

1.商是任何两个数相除都会得到的数，而余数仅在无法整除时才会产生。

2.商和余数的关系是：(被除数-余数)÷除数=商，推导得出：商×除数+余数=被除数。

3.在整数除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。

根据能否整除，商分为完全商和不完全商。

——若被除数除以除数能除尽时，商为完全商。

——若被除数除以除数除不尽时，商为不完全商。

由此可见：“完全商”中没有余数；“不完全商”含有余数。

第四，如何保证余数的正确性？

本人提出的“余数找生母”，是指当出现余数时，需要寻找余数的“生母”。以该故事为例，170÷30的分数形式是170/30，即30是分母。当出现余数时，分母30是产生余数的“生母”，而17/3中的分母3是“继母”。“余数找生母”就是为了把算式中约去的10倍还回来，得到正确的余数是：2×10=20。

答案是：剩余20个苹果，老板和会计各得10个。

第五，要点提示：

1.余数仅出现于“整数除法”中，且被除数、除数、商、余数皆为整数。

2.除的结果分为“能除尽、除不尽”，相对应的“商”是“完全商、不完全商”。

3.为了保证余数的正确性，需要找到与余数有关的最原始的分母(除数)，简称“余数找生母”。