信息技术可能为数学创造力的培养提供新的巨大的空间！教研学习86

做题和做数学有什么区别？如何在数学教育中提升学生的数学核心素养（王尚志），教研学习85

论学科核心素养形成的机制(余文森)，教研学习84

球面和正方体相交得到的曲线是什么？妙用轨迹法绘制，进阶系列222

编者按：这几天在回老家的高铁上，想看看自己之前下载但没有时间进一步细看的文章，在诸多文章中，这篇感觉如获至宝！

文献引用格式：[1]谢明初,王尚志.数学创造力的特征、培养与研究展望[J].全球教育展望,2020,49(05):119-128.

在阅读的时候，笔者提出了几个问题：

1，基础数学教育的课堂，由于应试的压力，主要在搞“双基”，进一步也是“四基”，学生的创造力在平时的课堂上能否培养？如何培养？

2，要培养学生的创造力，教师本身需要什么样的素质，或者需要什么样的教学观念？

3，培养学生创造力的课堂，是否有一般的可套用的、可借鉴的教学模式？

4，计算机（信息）技术的发展，对于学生创造力的培养，如何起到正面的作用？

摘 要：

创造力是推动数学发展的源动力。中小学生创造力培养正成为评价数学教育水平的重要指标之一。中国基础数学教育取得了国际公认的成绩,但如何提高学生的数学创造力却面临挑战。本文通过比较数学创造过程与数学学习过程,分析学生数学创造力的特征;以数学教育价值观、数学教育目标,数学学习环境为切入点,探讨如何在课堂教学中培养学生的数学创造力,并提出数学创造力进一步研究有价值的课题。

关键词：

数学教育;创造力;特征;培养;

在中小学数学教学过程中,人们常因过度强调数学的逻辑性、严密性、确定性,而忽视了数学的创造性。现代数学哲学通过对绝对主义数学观的批判与解构,提出建构主义数学观,认为数学结论并非绝对的、静止的、客观的永恒真理,而是一个动态的、可谬的、建构的理论系统,数学研究本质上是人类的创造活动。尽管数学家的理想是要获得严谨、清晰、确定的知识,但是“数学研究的推动力不是推理,而是想象力……必须将数学研究看成是一个创造性过程”,“数学发展的历史是数学家在斗争、挫折中不断创造的过程”。[1]这就意味着数学课堂仅仅重视算法的学习与技能训练是远远不够的,还应注重数学美的欣赏和数学创造力的培养。

由于数学家的发明、创造过程很少被记录下来,人们一时很难弄清数学家的真实思维过程,这使得数学创造力一直没有得到很好的关注。国际上最早研究数学创造力的论文发表在法国学术期刊《数学教学》(L'Enseigement Mathematique, 1902)上,当时这些论文是系列问卷调查报告。这些调查报告与后来著名数学家庞加莱(Poincaré)所做的关于数学发现的心理学演讲,激起了20世纪另一位著名数学家——阿达玛(Hadamard)对数学创造心理学的兴趣,阿达玛随后对包括乔治·布尼霍夫(George Birkhoff)、波利亚(Polya)、爱因斯坦(Einstein)在内的数学家和科学家做了一个非正式的访谈,试图了解他们在研究数学的过程中大脑是如何思考的,但阿达玛对创造力究竟指什么却没有给予明确回答。一般认为,创造是指通过革新,发明产生新的思想、技术和产品。在艺术和文学领域,完成一个独特的、新颖的作品就可以被视为一个创造性的工作,而某个科学研究成果要被视为一个创造性的工作,除了要看它的新颖性外,往往还要看这个研究成果的有用性。[2]相对于自然科学研究成果,数学研究有其学科特殊性。究竟如何定义数学创造力?特别是,学生发现一个迄今为止他们还未知晓的结论是否可以看成是数学创造力的表现?本文试图在国内外已有研究的基础上,剖析数学创造力的特征,并进一步探讨在学校环境下如何培养学生的数学创造力。

通常认为数学创造力是职业数学家所独有的能力。[3]法国数学家庞加莱认为数学发明创造就是组合。人在思考数学问题时会出现多种想法和观点,各种观点联系在一起就形成一个组合。面对一个数学问题,人脑中会同时产生各种可能的组合。这些组合各式各样,其中只有少数个别组合是有用的,这时就要进一步区分哪些是有用的组合,哪些是无用的组合。站在这个角度,创造就可以定义为形成、辨别和选择这些重要且有用的组合的过程。

庞加莱的观点后来得到一些认知心理学家的支持。埃尔温克(Ervynck)把数学创造过程描述为三个阶段。第一阶段称为初始技术阶段,涉及某种数学程序或技术的简单操作或应用,并不带有明显的理论基础。第二阶段涉及演算性活动,主要包括实施数学程序,或按照一定的数学原理、概念进行分析、推证、运算。第三个阶段涉及建构性活动。在这个阶段真正的创造得以产生,并且主要做出一些非演算性的决定。做出非演算性的决定是一个发散性思考过程并且常常也是一个选择过程。尽管埃尔温克试图通过他的三个阶段来描述数学家得到问题解答的过程,然而他对数学创造的描述还是类似于庞加莱和阿达玛,特别是他使用的术语“非演算性的决定”与庞加莱使用的“选择”隐喻是类似的。

埃尔温克还指出,通过组合先前已知的概念来构建有意义的新概念,或发现数学事实之间不曾知晓的关系可被视为一个数学创造性活动。他还强调,创造在高级数学思维活动中起着关键作用,为了发展新的数学理论、产生新的数学知识,必须做出合理的猜想,创造的作用就在于此。[4]波登(Boden)也有类似的看法,他认为,把熟悉的思想观点用不熟悉的方法组合起来就可视为一个创造性的工作。[5]内罗克(Laylock)把数学创造力描述成从不同的视角分析特定问题、观察模式、区分异同、产生多元思想、选择合适的方法去处理不熟悉的数学情景的能力[6]。钱伯林(Chamberlin)等人把发散性思维当成是数学创造力的最重要的特征,意味着数学创造力是人的一个稳定的特质,有可能像智商那样被测量。[7]

从已有的研究可以看出,一些研究者(如庞加莱)只注意到了数学创造性成果的有用性,一些研究者则强调其新颖性。还有一些心理学家致力于将数学创造力与智力、抽象概括能力、解决复杂问题的能力联系起来,并提出数学创造力的原创性要求,如斯滕博格(Sternberg)和鲁巴特(Lubart)把数学创造力定义为产生意想不到的原创性成果的能力,这种原创性的成果是可应用的。[8]数学家也许对把“有用性”作为创造性成果的要求持有异议,因为从数学的发展历史看,数学创造性的成果并不总是可直接应用在现实世界中。典型的例子是安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)给出的费马大定理的证明。数学家公认他的工作是原创性的成果,但是却不具有斯滕博格和鲁巴特所提到的可应用性的特点。

综上所述,新颖性和独特性是数学创造成果的共有属性。我们可以将数学创造看成是对给定问题产生独特的、新颖的、有洞见性的成果的过程,相应的,可将数学创造力定义为产生新颖的或原创的成果的能力。当然这种定义是针对数学家而言的,中小学学生是否具有数学创造力?或者说学生发现迄今为止已经知晓的数学结论能不能当成是一个创造性工作?虽然按数学创造性成果的原创性的要求,这不算是数学创造性的工作。然而斯拉曼(Sriraman)确信,创造不仅指数学家的原创性工作,而且也指某个人发现对他来讲还未知晓的结论,尽管这个结论对其他人来说是已知的。[9]弗赖登塔尔(Freudenthal)更是明确指出,数学学习是一个再创造的过程。虽然学生要学的数学知识是前人已发现的,但对学生来说,仍是全新的、未知的,需要每个人再现类似的创造过程来形成,因此学生对数学知识的学习必须以再创造的方式进行。[10]阿达玛甚至把学生的解题过程与数学家的发明创造相提并论: 学生解决几何和代数问题与数学家的发现创造,只是在程度和水平上有差异,在性质上却没有差异[11]。由于仅仅基于原创性和有用性来定义创造力对甄别和培养学生的创造性思维并不适用,我们有必要对职业数学家的数学创造力和中小学生数学创造力做出区分。尽管对学生我们不应提出“做出超乎寻常的创造性成果”的要求,然而要求学生对数学问题做出新的洞察则应是可行的。

认知心理学一般将创造力与问题解决联系在一起,并把创造思维看成解决问题的条件。其他一些研究则强调提出问题对数学创造的重要性。[12]综合起来我们可通过问题提出和问题解决两方面的行为表现来刻画学生的数学创造力的特征:

(1) 能提出新的问题或对原有问题能提出新的不同认识视角;

(2) 能发现新的数学公式、定理或能独立推导公式、证明定理;

(3) 对非常规性的数学问题能提出独特的、富有洞察力的解决方法。

数学教育价值观是对数学教育实践和教育价值关系的根本看法,是指导、支配数学教育行为和功能的核心观念,直接影响着数学教育的内容和方法。为了培养数学创造力,并使其成为现行数学教育体系的有机组成部分,不能只停留在对数学教材、教法等技术层面的问题探讨,必须对涉及数学教育价值观层面的问题做深入分析。无论是数学家的重大突破,还是数学课堂上学生的创意行为,都是在细微之处产生的思维火花,是一个人或一个群体思想观念的创新。只有真正去发掘价值观念,它才会出现。培养数学创造力首先要认同以下几个价值观:

首先,尊重学生的个性自由和独立思考。每个学生都有自己的生活背景、家庭环境,这种特定的生活和家庭文化氛围,导致不同学生有不同的思维方式和解决问题的策略。因而对于同一数学问题,应允许学生提出不同的解决方法,尽管有些方法并不高明,但这些方法是学生独立思考的结果。教师应尊重每个学生的想法,鼓励学生独立思考,提倡解题方法的多元化,引导学生选择适合自己的方法。

其次,包容学生对已有数学结论和数学权威的质疑。学生在思考和解决问题时,不应为绝对的数学法则、僵化的程序和方法或已有的经验所束缚,不盲从书本既有的结论和标准答案,反对独断论和绝对主义。学生应着眼于当前面临的新问题开展新的探索,做出新的思考。教师应允许学生对数学结论、对教材、对教师提出质疑,鼓励他们提出自己的设想,给他们讲述历史上数学家犯过的错误或走过的弯路,让他们了解数学创造发明中批判所起的作用。[13]

第三,允许学生大胆“尝试错误”。创造性解决数学问题,是探索数学的知识和方法,充满着不确定的因素,需要经过反复试错,最后才能完成。长期以来,教师对学生的“错误”如临大敌,难以容忍。殊不知,正是在一系列的尝试、纠错后,学习者才能掌握一定的科学知识,形成自身的认识能力。对“错误”不适当的指责和防范,以及在以“教师和教科书”为标准的环境中,学生会把“错误”当成耻辱,会害怕批评,由此产生的焦虑和畏惧会严重压抑学生的想象力、创造力。在数学课堂中鼓励学生冒险或尝试错误,实质是尊重学习的认知规律和数学探究方法。波普尔(Popper)在演绎基础上提出“试错法”,揭示数学与科学知识的发展,就是一个不断“试错”“纠错”的过程,即不断提出尝试性的假设和猜想,不断进行反驳,然后进行论证的过程。“尝试错误”体现了允许学生出错、通过“从错误中学习”而不断取得进步的价值观。[14]

问题解决是指由一定的情境引起的,按照一定的目标,应用各种认知工具、技能,经过一系列的思维操作,使问题得以解答的过程。现今世界上多数国家的数学课程标准都明确把“问题解决”做为数学教育的核心目标。[15]至于为什么数学教学中要教授“问题解决”,在教育研究文献中却鲜有分析。

按波利亚的观点,所谓“问题”就是意味着要去寻找适当的行动,以达到一个可见而不立即可及的目标。1988年第六届国际数学教育大会上“问题解决、模型化及应用”小组所提交的课题报告,明确给出了“问题”的富有启发的界定:“问题”是对人具有智力挑战性的,没有现存解决方案的,有待人们去寻找的境况。

一个问题包含着三个基本的成分:

(1) 给定: 问题的初始状态;

(2) 目标: 问题要求的答案或目标状态;

(3) 障碍: 给定与目标之间的隔阂。

解决一个问题即是要从初始状态转变成目标状态。这时,学习者可能经历三种情况:

(1) 归纳问题: 发现问题隐含的结构;

(2) 转换问题: 发现从初始问题到目标状态的操作;

(3) 排列问题: 对于所需要的成分,问题解决者以一定的方式排列它们,以达到规定的状态。

从上述分析可以看出,问题解决本质上是多层次的认知活动,包含了多个环节的复杂过程,特别是对非常规性、有挑战性的数学问题,学生需要将概念进行重新组合或采取新奇的、独特的观点,做出不同寻常的反应,寻求无单一标准的答案。因此,可以认为,数学问题解决所需求的事实上就是创造力。尽管“问题解决”的目标已为各国数学教育工作者所普遍接受,继而演变成国际性数学课程改革潮流,然而,正如庞加莱所指出的,“当数学科学日益严密的时候,常常忘记自己的历史起源,只显示问题是如何解决的,却没有显示问题是如何提出的,以及为什么提出”。如果回放数学课堂,就会发现很多教师只注重了数学的问题解决,却严重忽视了数学的问题提出。

事实上,从数学的发展看,数学研究有两种情况: 一种是先提出需求,即希望达到某个目标,换个角度看,这种需求本身就是在提出问题——我们如何才能够达到某个目标?另一种是在现有的概念和方法中发现问题,然后寻求解决问题的方案。无论是何种方式,首要条件都是“提出问题”。没有问题的提出,一般情况下,就没有动机去解决问题,也就无法得到相应的发明创造。所以,“提出问题”是人们思维的基础,是数学创造的源泉。无论是原始独创的方法,还是现有方法的改进,都遵循一个规律: 提出问题,解决问题,再提出问题,再解决问题,如此继续,直至达到预期的目标。认知心理学进一步从从信息加工观点出发,说明问题提出的意义: 问题解决过程可看作是对问题空间(problem space)的搜索过程,而“问题提出”即是对问题空间搜索的具体表现形式。问题解决后,需要对问题的起始状态和目标状态重新审视,使问题空间发生剧烈的变化,从而使“问题提出”更深入,达到“探索、发现、创造”的目的。

对创造力有两种不同的认识观点: 一种认为它是一般能力,可以通过形式训练迁移到各具体学科之中;一种认为创造力能在学科领域内加以训练。到目前为止,心理学还没有找到一般性的能力在跨学科情境中普遍迁移的证据[16],当前认知心理学强调专门领域知识在创造过程中的作用。因此,问题解决和问题提出实质上是结合数学内容训练或培养数学创造力的特定方法,体现了数学的学科特性,反映了数学学习的内在规律。

数学创造力的培养极大地依赖于教师这一关键因素。数学教师要能够识别学生的数学天赋,并鼓励和培养学生的数学创造力。有关研究表明,数学教师倾向于用他们自己曾经接受数学教育的方式去教学生。这表明,数学教师自身的数学学习经历在发展学生的数学创造力时起关键作用。[17]如果某个教师在学生阶段经历了“为解决一个挑战性问题而绞尽脑汁并最后获得成功”的过程,那么他在以后的数学教学中就倾向于运用探究法进行教学,并鼓励学生进行创造性思考。[18]这就意味着,在对数学教师进行在职培训时,不仅要提高他们对数学创造力的关注与认识,同时还要加强他们自身对创造性解决数学问题过程的体验。

影响数学创造力的另一环境因素是学习氛围。在学校环境下,应提倡并激发学生从不同的视角思考数学问题。为了使学生像数学家那样去思考,就要给予学生自我探索、提出猜想、做出假设、检验结论、进行反驳、调整策略、设计方案、归纳总结、论证结论的机会。教师要相信学生具有运用各种方法解决数学问题的潜能,并意识到“数学学习不仅要获取正确答案,而是创造性思考”[19]。在有创意的学习环境里,解题的程序和速度不是唯一强调的因素,新观点和新方法应是重要的强调指标。在这样的环境里,教师的任务不是直接传授数学结论,而是向他们提供必要的支撑,以帮助学生解决挑战性的问题,并反思他们的方法以获得对某个问题的深刻见解。这样一来,学生就会被鼓励采取一定的冒险、试错行为去开辟新的解题途径。创建这样的学习环境,将会促进学生数学创造力的发展。

促进数学创造力发展的学习环境还须具有互动性特征。虽然一个新思想或新方法的提出最终归功于提出这个思想、方法者本人,但是这个新思想或新方法通常是创造者本人与他人互动的结果,也包含先前对这个思想或方法做出思考的其他人的贡献。如数学家研究庞加莱猜想近一个世纪,直到2003年,在它被提出99年后,才由俄罗斯数学家佩尔曼(Grigory Perelman)所证明。可以认为,佩尔曼的最后证明是近百年来数学家们共同尝试的结果。正是这些数学家们证明的不足和缺陷才促成了佩尔曼的最终证明。通过研究爱因斯坦等人的创造过程也揭示这样的事实: 他们的创造性思想依赖于合作和社会支持,其中合作是取得创造性突破的关键因素。[20]

斯拉曼设计了一项定性研究,以5位职业数学家为样本,研究他们是如何创造数学的,结果显示所有数学家的研究经历中,合作互动是重要的环节,他们每个人也都非常乐于与他们的研究生交流并非常重视研究过程中的社会互动。这5位数学家都认可通过电子邮件交流和参加相关的学术会议对他们的研究所起的作用。纽曼(Neumann)设计了另一项研究,用以找出在一个研究团队中,提升研究者的创造力的最好条件。他得出了这样的结论: 互动性的环境对提高创造力非常有利。在什么样的互动对创造力最为有利的问题上,他认为,如果一个人恰好和一个只想要精确数据和确证结论的人交流,那么这种交流就不会导致新思想、新观点的产生。但是与学术高手进行思想互动则容易激发思维的火花和观念的迸发。[21]

数学创造力研究还有很大的改进和发展空间。数学创造力概念界定不清晰,研究过程取样不恰当、不充分,实验研究时缺乏严格的变量控制,以及分析评价时使用不合适的测量和统计工具,都可能大大削弱研究结论的可靠性和说服力。未来的研究,在对已往研究进行深入的分析以找出研究过程中的陷阱和漏洞,并对研究方法和手段做持续不断地改进的同时,将着重围绕以下几个方面展开。

尽管数学能力同数学创造思维能力的高低呈正相关,但两者是不同质的能力,不能互相替代。我们需要对一般数学能力与数学创造力进行甑别或测试。卡尔顿(Carlton)等人提出的数学创造力行为特征指标可以做为发展测评工具的基本出发点。[22]有人使用“一般数学能力”的某些指标对数学创造力进行测查,也有人专门设计数学创造力测量表,却没有对为什么在测量表中使用这些指标给出有说用力的解释。这就预示着必须就一般数学能力和数学创造力之间的差别做出研究。在这方面,对不同性别在各个年龄阶段上的数学能力和一般能力测查做因素分析,有助于判明现有一些可用工具究竟是在测查人的什么特质。对早期识别儿童数学创造力的测量工具和观察技术的改进和完善,也是一个有重要价值的研究课题。只有评价得当,才能把那些创造力非凡的学生鉴别出来,为他们的发展提供更大的舞台,同时对创造力水平不突出的学生进行有效地培养。也只有发展了较为完善的数学创造力测评工具,我们才能确定什么样的教学方法对培养数学创造力是有效的,什么样的教学方法有是无效的。

克鲁捷茨基(Kruteskii)在对数学天赋儿童的大量观察基础上总结了儿童数学创造性思维的特征,并发现一些人的神经系统对数量关系、空间形式、符号系统更为敏感,因而他们不需刻意做太多的努力和给予特别留心就能建立起数量关系、空间形式、符号系统及其之间的关联。克鲁捷茨基所做的这些假设激起了数学创造能力的神经生理机制研究。借助认知神经科学研究的成果,能对当前数学创造力研究的很多争论做出更合理的解释。

作为对克鲁捷茨基的假设的检验,运用口语报告分析的方法,对学生在数学的学习、观察、工作记忆、长时记忆和问题解决过程中的生理和心理行为做细致入微地分析,可能得到关于数学创造过程有深刻价值的新见解。同时,克鲁捷茨基对数学天赋儿童的临床分析还可扩大到对数学感到特别困难的儿童。通过对天赋儿童和学习困难儿童思维过程的对比分析,更容易揭示数学创造性思维的特性。另外,对数学天赋儿童或杰出数学家就问题解决过程进行个别深度访谈,或让学生在解决数学问题过程中进行出声思考,以及接着对其进行跟踪个案研究都是非常有价值的研究数学创造力方法,运用这种方法会对数学创造力的结构和变化进程给出合理的解释。

另一个富有潜在价值的研究路线是考察遗传因素和环境因素对数学创造力的影响及二者间的相互作用。例如,可将“儿童的年龄和性别对数学创造力的影响”的研究问题拓展为“儿童青少年的年龄和性别对数学创造力的影响”,还可以进一步把研究对象扩大到具有不同社会经济背景、不同民族的群体,并可把在某个特定时间段对某个给定群体的数学创造力研究扩展为对这类群体做长时期大跨度的跟踪研究。这类研究使研究者不再满足于从事可控的实验,提取重要变量,而是投身于现场考查,利用“民族志”的方法,对理解数学创造力的社会环境和发展过程进行实地跟踪。

尽管我们都承认在课堂教学中教师对学生数学创造力发展起关键作用,也曾经有人专门设计提升在职数学教师的创造力的课程方案,以唤起这些教师对学生数学创造力的重视,并提升他们如何创设学习环境以激发数学创造力的能力,然而我们对数学教师的何种行为或开展的何种形式的活动,会对学生的数学创造力发展究竟起到何种的作用、产生什么样影响却缺少精细的实证研究。针对这些问题,常用的研究方法是将“直觉的”“发现的”或“创意的”数学教学与“传统的”“制式的”或“教师中心”的教学进行比较,考察二者所产生的实际效果,并特别要考察学生的学习和思维方式是否发生变化。虽然通常所说的“直觉的”“发现的”或“创意的”教学已得到充分的肯定,但是这种教学方式是否真的培养了学生的创造性思维尚需进行审慎地分析与评估。有时,被认为最为有效的提升创造力的方法,也并不对学生会产生预期效果1。有研究指出,教学方法与学习风格的相互作用才会对学生行为发生显著影响。[23]这些探索预示一个的新课题: 教师特征、教学方法与学习风格之间的相互作用如何影响学生的数学学习行为。

在创造力培养中,计算机和其他现代技术的作用已经引起了许多研究者的关注。[24]

使用计算机,将会导致数学观的改变。数学不是纯粹的演绎学科,而是动态的、建构性的学科,其中直觉、猜想、反驳对数学的发展起着很大的作用,这种动态数学观促使教师把注意力从学生知识的获取转到知识的探求。

计算机的优势在于图解能力,它可以描绘静止的图表,也可描绘生动直观的图形,而杰出数学家的创造更多借助于直观的图表而不是文字符号。计算机发展到人工智能阶段,已经可以让数学图形动起来,实现可视化教学[25],这就为数学创造力培养增加了一个新的方向。

未来的研究将围绕下面两个课题进行: 如何利用计算机的信息贮存、获取和显示功能以及多媒体技术创设生动、直观,有启发的学习情境,以激发和培养学生的数学创造力;如何设计适合小组或个人学习的智能软件,以充分实现学习的差别化和个性化。

概言之,复杂的计算机设计和模拟系统、交互式技术和人工智能的进展,将给数学创造力的培养提供新的巨大的空间。

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反思1：笔者把这篇文章及其笔者喜欢的一段，共享到微信群，

正高级张志勇教授则提出：这是哪一篇文章的内容？我更喜欢前面一段！

即：使用计算机,将会导致数学观的改变。数学不是纯粹的演绎学科,而是动态的、建构性的学科,其中直觉、猜想、反驳对数学的发展起着很大的作用,这种动态数学观促使教师把注意力从学生知识的获取转到知识的探求。

张教授的原话为：“技术融合教学的真正状态，我的感觉确实是会影响自己的三观（数学观、教学观、学习观），没有玩过技术的人，对这段段的理解必然不深刻！”

笔者也深以为然！

笔者之前有一个区课题，也是做培养学生创新精神方面的，主要从构建民主的课堂教学氛围、改善教学评价（激励性评价）、改进教学方式（鼓励学生先思考、先尝试、先表达）、尊重学生的相异构想等方面进行改革，

但是，当笔者接触GGB这一神奇的动态数学软件之后，才发现它刚好能够契合创造力的培养，而有一个良好的能开展数学实验、动态可视化环境、培养学生直观、猜想、验证、反驳、论证、新问题提出的平台！

仅仅停留在教学方式的改进，不借助目前的信息技术，可能就错失了当前信息技术的发展而带来的巨大收益！

中国不能再在这方面落后于世界了！