从百鱼百斤问题谈起(算术名题一题多解探幽)

本文分为两个单元，第一单元是名家名作选读，第二单元是我的读后感。

巧解民间算术题——变化中保不变

中国民间流传很多有趣的算术题，比如，下面就是一个：

【例2】100个人吃100个馒头，其中大人每人吃3个，小孩每3人吃1个，大人、小孩各多少个？

分析与解答：如果用算术方法解，可以考虑下面的解法：

先将要求放宽，只要求人数与馒头数相等，不要求都是100．很容易凑出一个满足这个条件的方案：让1个大人与3个小孩同在一桌，共是4个人，吃4个馒头，人数与馒头数相等，假定摆很多桌子，每张桌子都同样坐1个大人3个小孩，4个人吃4个馒头，则所有桌子的总人数与总的馒头数由4人和4个馒头同时扩大相同的倍数得到，人数与馒头数相等，只需算一算要摆多少桌子才能让人数达到100,则所吃的馒头数也达到100．每桌4人，100人就需要100÷4=25桌．25桌就是25个大人，75个小孩，

【例3】100条鱼100斤，大鱼每条10斤，中鱼每条1斤，小鱼每条1两、大、中、小鱼各多少条？

话说斤两

斤、两是在推行公制单位之前中国使用的度量单位，1斤等于16两，1/16斤就是一两，关于斤与两，有些故事值得在这里讲一讲．

我读过一本书，说的是古代帝王之谜，其中说到秦始皇靠暴力推行的东西都经受不起历史的考验，没有流传下来，并且举了"1斤＝16两"作为没有留传下来的例子．我没有去考证"1斤＝16两"是秦始皇规定的还是更早的时候就有的，但不用考证，我就知道"1斤＝16两"直到20世纪50年代还在使用，那时我在读小学．那时的会计在进行斤两的单位换算时还需要背熟"一退六二五，二一二五，三一八七五，……"之类的口诀，"一退六二五"就是"1两＝0.0625斤","二一二五"就是"2两＝0.125斤"……．我父亲是会计，在我小时候也教我背过这些口诀．后来改成"1斤＝10两"，再后来直接用克、千克这些国际通用单位，这些口诀似乎都没有用了．但这些口诀使我背熟了分母为16以至于分母为8,4,2的分数展开成的小数：1/16=0.0625，2/16=1/8=0.125,…，直到现在对我还很有用。

"1斤＝16两"从秦始皇时代（或者更早）使用到20世纪50年代，长达2000多年时间，怎么能说没有流传下来呢？这只能说明书的作者太无知，也太狂妄，自己不懂的东西不去学习了解一下，就妄发议论，自以为是天下第一，可以骂遍古今中外的人．

"1斤＝16两"使用了2000多年，也渗透到中国文化中去了，还产生了一个成语："半斤八两"，按照"1斤＝16两"，当然就有"半斤＝八两","半斤八两"就是形容两件事相等，分不出谁多谁少，谁好谁坏，谁对谁错，要是按后来的"1斤＝10两"的度量制度，那就是"半斤＜八两"了，现在民间就流行一个新的说法"能喝半斤喝八两"，借用"半斤＜八两"来形容某人喝酒超过了自己的能力。

20世纪50年代末期"1斤＝16两"被废止不用，改为"1斤＝10两"，这是为了与十进位制相协调，使单位换算更容易掌握，减少广大群众学习和使用的困难，但从数学上说，十六进位制不见得比十进位制更差，至少它有一个优点：半斤＝8两，是整数；半斤的一半＝4两，仍是整数；半斤的一半的一半＝2两，再求一半是1两，也都是整数，我们现在很崇拜二进位制，很为老祖宗的易经和八卦中的二进位制萌芽感到自豪，十六进位制其实也是二进位制的范畴，是四位的二进制数，为什么就不感到自豪而要说是暴力的产物呢？

另外的进位制，例如量时间和角度采用六十进位制：1小时＝60分，1分＝60秒．它有一个优点：1小时的½，⅓，¼，1/5，1/6分别是30分，20分，15分，12分，10分，都是整数．

而十进位制其实并没有什么特别的道理，只不过因为我们长了10个手指，人类最开始借助于手指来数数而已，但既然计数已经采用了十进位制，如果其他度量采用其他进位制，换算起来就不方便，因此尽量全部统一为十进位制确实有好处．螃蟹有8只脚，假如也进化成智能生物，发明出数学来，很可能就采用八进位制，比人类的十进位制还更先进一些

对百鱼百斤问题的分析

1条大鱼10斤，条数小于斤数；1条中鱼1斤，条数等于斤数；16条小鱼1斤，条数大于斤数．仿照例2的方法，先将大鱼与小鱼配成"一桌"，让它们的条数与斤数相等，再同时扩大若干倍，条数与斤数就仍然相等，或者同时增加若干条中鱼，条数与斤数仍然保持相等，就可能凑出100条鱼100斤了。

试将1条大鱼与16条小鱼配成一"桌"，看它们的总条数与总斤数是否相等？结果发现：条数＝1+16=17，斤数＝10+1=11．条数大于斤数，二者不相等，

为什么不相等？1条大鱼10斤，斤数比条数多9；16条小鱼1斤，斤数比条数少15．将"多9"与"少15"配在一起，当然不能完全抵消，必然是条数比斤数多，要让它们相互抵消，应当将"多9"与"少15"分别扩大若干倍，使多的与少的正好相互抵消。

于是得到下面的解法：

解： 大鱼：(1条10斤）斤数﹣条数＝+9×5→+45(5条50斤）

小鱼：(16条1斤）斤数﹣条数＝-15×3→-45(48条3斤）5条大鱼，48条小鱼．共5+48=53条，10×5+48÷16=53斤．再补充中鱼100-53=47条，就得到问题的正确答案：

大鱼5条，中鱼47条，小鱼48条．

例2的思路：要同时满足条件"人数＝馒头数＝100"太困难，先将条件放宽：只要求相等，不要求100．相等之后再同时扩大到100.

例3的思路：要同时满足条件"条数＝斤数＝100"太困难，先将条件放宽：只要求相等，不要求100．相等之后再同时增加到100.

显然，两个题的思路有共同点：①将困难问题变得容易；②将容易问题的答案变成困难问题的答案。

以上内容引自：

数学的神韵 by 李尚志

走进教育数学丛书

读后感

百鱼百斤问题的代数解法

中学生解这个算术题可以考虑代数解法。取大鱼y条和小鱼x条，整体重量等于条数，即x+y，据题意可列方程：

(1/16)x+10y=x+y

先把方程系数化为整数：

x+160y=16x+16y

移项得

15x=144y

因为15和144的最大公约数是3，所以方程可以化简为：

5x=48y

所以x:y=48:5

故得答案为大鱼5条，小鱼48条，中鱼47条。

学了物理可以用力学原理求解大鱼和小鱼的条数。

每条小鱼重量0.0625斤，大鱼重量10斤，整体平均重量1斤，故得ax=by

这里x表示小鱼的条数，y表示大鱼的条数。a表示距离，即小鱼重量到整体平均重量的距离。同理，b也表示距离，即大鱼重量到整体平均重量的距离。

据题意可知，a=1-0.0625=0.9375，

b=10-1=9

这样，我们得到相同的答案：大鱼5条，小鱼48条，中鱼47条。

用代数解法解决鸡兔同笼不在话下。古代名题甚至上了央视，题目呈现如下：

今有鸡兔同笼，上有头35，下有足94。问鸡兔各有多少？

央视介绍了古人的经典解法，这里我们用代数解法。笼子里的平均足数是94/35，设鸡有x，兔有y，据题意可列方程：

2x+4y=(94/35)(x+y)

把方程化为整式方程：

移项得

24x=46y

即12x=23y

鸡兔比例为

x:y=23:12

所以鸡有23只，兔有12只。

我们也可以直截了当地求出鸡兔混合比：

ax=by

求出鸡兔比例后就得到答案：鸡有23只，兔有12只。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。