《几何原本》对当下教学的启示

欧几里得的《几何原本》，首次运用公理化思想构建了完整的演绎逻辑体系，影响深远。那么，它对当下数学教学有哪些启发？

强化问题导向，激发学生探究兴趣。《几何原本》作为数学经典，蕴含众多值得深入挖掘的命题。在教学过程中，教师可选定《几何原本》中的特定命题作为出发点，引导学生深入思考，激发其探究兴趣和创新思维。

以《几何原本》卷一命题37为例，该命题阐述了“同底等高的三角形面积相等”这一基本原理。教师可以引导学生将这一原理与轨迹理论相结合，从而启发他们思考以下问题：

1.在三角形的底边长度保持不变的前提下，若需要维持三角形的面积恒定，当三角形的顶点在平面内自由移动时，其顶点的运动轨迹将如何呈现？

2.在底边长度固定的条件下，为了保持三角形的面积不变，应如何确定顶点的位置，以使三角形的周长达到最小值？这是一个涉及面积、周长与位置关系优化的综合性问题。

3.对于底面固定的三棱锥，在体积恒定的条件下，若其顶点在三维空间内移动，如何准确描述其顶点的运动轨迹？这一问题旨在引导学生探索更高维度的几何关系。

重视逻辑推理，引导学生思维拓展。《几何原本》作为数学推理的经典之作，其众多命题始终被视为坚实可靠的依据。比如，卷一命题5明确指出等腰三角形的两底角相等，且当腰延长时，与底边形成的两个补角亦相等。

在教授“全等三角形判定”这一数学核心知识点时，教师应当首先确保学生能够牢固掌握并灵活运用边角边定理。随后，为了进一步提升学生的探究能力，教师可设计一项富有挑战性的任务，即要求学生利用边角边定理验证等腰三角形的底角相等。在此过程中，教师应给予学生充分的时间与空间，鼓励他们积极参与讨论，并勇于展示证明路径。值得注意的是，学生可能采用的证明方法多种多样，如普罗克拉斯的拦腰法、帕普斯的镜像法及欧几里得的驴桥法等，这些方法均充分展示了学生对边角边定理的深刻理解与灵活运用。最后，在评价阶段，教师应灵活运用古今结合的教学策略，对学生的证明过程进行一对一有效的指导。

在命题或问题解决的教学过程中，教师应当始终强调论证的严密性与逻辑性。通过组织小组合作学习，引导学生对相关命题进行深入、详尽的证明，从而有效促进其思维的深度拓展与提升。

注重方法传授，促进知识表征转化。数学史作为重要的参考资源，为我们带来了深刻的启示。丹麦数学家塞乌滕曾表示，《几何原本》第二卷中欧几里得所采用的“几何代数法”，即将代数问题转化为几何形式进行求解的策略，不仅彰显了数学内部各分支间的紧密联系，也为当代数学教学方法提供了宝贵的借鉴。

具体而言，教师可以通过策划一系列富有创新性和启发性的教学活动，如剪纸、拼图等，激发学生的主动学习精神和创造力，并鼓励他们独立推导和验证相关的数学公式。

《几何原本》第二卷中的命题4明确指出，如果一条线段被任意切分为二，以该线段为边的正方形面积等于两条小线段上的正方形面积之和再加上两条小线段所构成的矩形面积的两倍。这一几何命题深刻揭示了线段分割与正方形面积之间的本质联系。若以现代代数符号表示，即（a+b）2=a2+2ab+b2。

这一转化过程不仅体现了数学中表征转化的独特魅力，还为我们提供了一种将几何直观与代数抽象紧密结合的有效方法。

《几何原本》一书不仅为数学教学提供了丰富的教学内容，而且为我们提供了一种寓教于引的教学方式，值得我们深入研究和借鉴。

（作者单位系广东省深圳市龙岗区横岗六约学校）

《中国教师报》2024年08月21日第6版

作者：王 迪