高斯是老中医，阿基米德和伽利略是真天才，《九章算术》指明了

老中医喜欢讲故事，高斯也喜欢讲故事，高斯跟老中医一样。

方舟子《高斯巧算数列的传说是真是假？》：高斯上小学时，其数学老师布置了一道从1加到100的习题，想让学生们算上一整节课，没想到题目刚刚布置下来，高斯就报出了答案“5050”。原来高斯发现了1到100的数列两头可以一一配对：1+100，2+99，3+98，……每一对的和都是101，总共有50对，所以总和就是5050。......萨托里尔斯说这个故事是高斯自己在晚年经常向人们说的。萨托里尔斯说高斯在晚年很喜欢回忆他小时候发生的小插曲，从中可以让人觉察到天才的火花。萨托里尔斯还说，高斯非常准确地记得这些事，在反复讲述时都很一致，从没有改变过其细节。萨托里尔斯写这些话的时候，高斯才逝世一年，高斯的生前好友很多都还健在，萨托里尔斯不至于胡编。所以我们可以相信萨托里尔斯的话，这个故事是高斯多次讲过的。

《大侠霍元甲》：喝了跌打茶就没事了

张益唐：高斯不是神

欧几里得《几何原本》：在几何里，没有专为国王铺设的大道。

米内克穆斯《致亚历山大大帝》：几何无坦途。

白晋《康熙皇帝》：皇上认真听讲，反复练习，亲手绘图，对不懂的地方立刻提出问题，就这样整整几个小时和我们在一起学习。然后把文稿 留在身边，在内室里反复阅读.同时，皇上还经常练习运算和仪器的用法，复习欧几里得的主要定理，并努力记住其推理过程.这样学习了五六个月，康熙皇帝精通了几何学原理，取得了很大进 步，以致于一看到某个定理的几何图形，就能立即想到这个定理及其证明。有 一天皇上说，他打算把这些定理从头到尾阅读十二遍以上。皇上在研究数学的过程中，已感到最大的乐趣，因此，他每天都和我们在一起度过两三个小时。此外，在内室里，不论白天还是夜晚，皇上都把更多的时间用于研究数学。

康熙帝《清圣祖实录》：朕常讲论天文、地理及算法、声律之学，尔等闻之辄奏日， 皇上由天授，非人力可及。尔等试思，虽古圣人岂有生来无所不 能者，凡事俱由学习而成务，学必以敬慎为本，朕之学业皆从敬慎（注：这里的“敬” 就是尊重科学的客观性，“慎” 就是以一丝不苟的严谨态度对待科学）中得来，何谓天授非人力也。

亚伯拉罕·林肯《简短的自传》：自担任议员以来，他（注：“他”是指林肯自己）学习并几乎掌握了欧几里得的6本书（指欧几里得的《几何原本》）。他开始了持续严格的头脑训练，试图增加他的能力，特别是他在逻辑和语言方面的能力。因此他热爱欧几里得的书，他在巡行时总是随身带着它们，直到他能轻松地证明出6本书中的全部推论；他经常在枕边点支蜡烛，学习到深夜，而他的律师同伴们，一间屋子里有半打，无休止地打着呼噜。

徐光启《几何原本杂议》：下学功夫，有理有事。此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学.能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。

①

《解透教材·高中数学选修性必修第二册》

【题目】已知一个等差数列 {an} 的前10项的和是310，前20项和是1220，求这个数列前30项的和.

这道题目的（ 方法一 ）没啥营养，最容易操作，把已知条件代入等差数列{an}的前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2，列出二元一次方程组，解出a1=4和d=6，再把a1=4和d=6代入等差数列的前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2，就能得到S30=2730.

这道题目的（ 方法二 ）告诉我们，在已知一组项数n及Sn之条件情形下，等差数列{an}的前n项和公式还可以用先转化为二次方程，再转化为二元一次方程组的解法.

Sn = na1 + n(n-1)d/2

= na1 + n²(d/2) + n(d/2)

= (d/2)n²+ (a1 - d/2)n(当d≠0时，Sn是项数n的二次函数，且不含常数项）

⇒

设 (d/2) = A，(a1 - d/2) = B

⇒

Sn = An²+ Bn，将已知条件代入

⇒

S10 = A(10²) + B10 = 310 ①

S20 = A(20²) + 20B = 1220 ②

⇒

100A + 10B = 310 ③

400A + 20B = 1220 ④

⇒

A = 3

B = 1

⇒

S30 = A(30²) + 30B = 3 x 900+ 30 x 1 = 2730

在（ 方法二 ）对{an}前n项和公式的所推出的二次函数解析式Sn=(d/2)n²+(a1-d/2)n的基础之上，我们往此公式的两边同时乘以1/n，它又会变回一次函数的解析式，从而求证出这道题目（ 方法五 ）中所提出的{Sn/n}是等差数列这一命题成立.

Sn = (d/2)n²+ (a1 - d/2)n

⇒

Sn / n = [(d/2)n²+ (a1 - d/2)n ] · 1/n

⇒

Sn / n = (d/2)n + a1 - d/2

其本质为 y = kx + b（ k，b是常数，k≠0）

左边的Sn/n可看成是一次函数解析式中的函数y，右边的（d/2）可看成一次函数解析式中的常数k，右边的n可看成是一次函数的自变量x，右边的a1-d/2可看成是一次函数中的常数b，将（方法一）中所求得的公差d=6 ，以及a1=4代入Sn/n = (d/2)n + a1-d/2

⇒

Sn/n = (6/2)n + 4 - 6/2

= 3n + 1

按顺序将去零正整数所组成的序号一个一个地代入Sn/n=3n+ 1，我们确实能得到Sn/n是一个公差为d/2=3的无穷等差数列这一结论，这个无穷等差数列的通项公式就是Sn/n =3n+1，这个无穷等差数列是建立在以公差d=6，以an=a1+(n-1)d=4+(n-1)·6=4+6n-6=6n-2为通项公式的另一无穷等差数列之上的。在无穷等差数列Sn/n=3n+1中，删除前九项，S10/10，S20/20，S30/30，S40/40......这些数字在余下的项里以相隔九项的距离出现，它们的序号n所在的横坐标与前n项和Sn/n所在的纵坐标所构成的离散的点（10，S10/10），（20，S20/20），（30，S30/30），（40，S40/40）......均匀地分布在一次函数y=kx+1这条直线上.

S1/1 = 3×1 + 1 = 4 = a1

S2/2 = 3×2 + 1 = 7

S3/3 = 3×3 + 1 = 10

S4/4 = 3×4 + 1 = 13

S5/5 = 3×5 + 1 = 16

S6/6 = 3×6 + 1 = 19

S7/7 = 3×7 + 1 = 22

S8/8 = 3×8 + 1 = 25

S9/9 = 3×9 + 1 = 28

S10/10 = 3×10 + 1 = 31

......

S20/20 = 3×20 + 1 = 61

......

S30/30 = 3×30 + 1 = 91

......

S40/40 = 3×40 + 1 = 121

......

通过向量的坐标运算也可验证出这些点是共线的.

向量AB = ( 20 - 10 ，61 - 31 ）= （ 10, 30 ）

向量AC = （ 30 - 10 ，91 - 31 ）= （ 20, 60 ）

x1y2 - x2y1 = （ 10 x 60 - 20 x 30 ）= 0

⇒

AB∥AC

直线AB与直线AC有公共点A

⇒

A，B，C三点共线.

无论通过上边的左图，还是右图，都可证明红色和蓝色的两个直角三角形是相似三角形，从而得到红蓝两个直角三角形的对应直角边之比相等这一结果，即斜率相等，进而列出方程求出S30.

左图⇒（61-31）/（20-10）=（S30/30-61）/ （30-20）

3 x 10 = S30/30 - 61

S30/30 = 91 x 30

S30= 2730

右图⇒（61-31）/ （20-10）= （S30/30-31）/ （30-10）

3 x 20 = S30/30 - 31

S30/30 = 91 x 30

S30= 2730

再次借用（方案二）推出的公式Sn=(d/2)n²+ (a1-d/2)n被代数替换后之方程形式Sn=An²+Bn，可推导证明（ 方法四 ）所述的“若 {an} 是等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍然成等差数列”这一命题是成立的.

Sn = An² + Bn

S2n = A(2n)² + B2n = A4n² + B2n

S3n = A(3n)² + B3n = A9n² + B3n

S2n - Sn = A4n² + B2n - An² - Bn = A3n² + Bn

S3n - S2n = A9n² + B3n - A4n² - B2n = A5n² + Bn

用等差中项公式2A=a+b检验这些被代数替换后的等差数列的前n项和Sn，S2n-Sn，S3n- S2n之间的关系，它们确实成等差数列.

2（ S2n - Sn ）

= 2（A3n² + Bn）

= A6n² + B2n

= (An² + Bn) +（A5n² + Bn）

= Sn +（S3n - S2n ）

将S10 = 310、S20= 1220代入方程

2（ S2n - Sn ）= Sn +（ S3n - S2n ）

⇒

Sn= S10 = 310

S2n - Sn = S20 - S10 = 1220 - 310 = 910

S3n - S2n= S30 - S20= S30 - 1220

⇒

2（ S20 - S10 ）= S10 +（ S30 - S20 ）

2（ 1220 - 310）= 310 +（ S30 - 1220 ）

2 × 910 = 310 + S30 - 1220

S30 = 2730

很容易就能看出（方法三 ）所提及的a1+a10，a1+a20，a1+a30是等差数列，因为(a1+a20)-(a1+a10)=(a1+a30)-(a1+a20)=10d=a20-a10=a30-a20，a1+a10，a1+a20，a1+a30三个数之间的公差与a10，a20，a30三个数之间的公差都等于10d，所以两组数都是等差数列.

也就是说，不论是a1+a10，a1+a20，a1+a30这三个数，还是a10，a20，a30这三个数，都符合等差中项公式2A=a+b，通过对等差数列的定义an-an-1=an+1-an的变形推导，我们可清晰看到它们之间的关系.

an - an-1 = an+1 - an

⇔

an + an = an+1 + an-1

⇔

2an= an+1 + an-1

⇔

2（a1 + an）= （a1 + an+1） + （a1 + an-1）

⇒

2（a1 + a20） = （a1 + a30） + （a1 + a10）

（20 + 20 = 10 + 30 ）序号 ⇔ 项数（61 + 61 = 31 + 91）

所有复杂的等差数列的形式，都是建立在等差数列的最简形式之上的，无论多么复杂的等差数列，都可转化为等差数列最基本的形式an-an-1=an+1-an，即转化为由三个数所组成的最简单的等差数列.

无论等差数列的项数为奇数，还是偶数，它们都具有一种基本的性质：若{an}为有穷等差数列，则与首末“等距离”的两项之和等于首末两项之和，

即

a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = ......

等差数列的根基就在于三个数字之间存在着这种固定不变数形关系，一种特殊的几何及代数关系.

除常数列外，在等差数列{an}中，m+n=p+q（m，n，p，q ∈ N*）与am+an=ap+aq互为充要条件【在常数列中，无需m+n=p+q这一条件，也存在am+an=ap+aq】

项数为奇数时，是此性质的特殊情况，会出现两边的两项之和等于中间项的两倍，即所谓的等差中项公式（2A = a + b ）.

p = q

⇒

2p = 2q = m + n，

⇒

ap = aq，

2ap = 2aq = am + an

（20 + 30 = 10 + 40 ）序号 ⇔ 项数（61 + 91 = 31 + 121）

因此我们一般不会用下边这种方法求解上边的那道题目，虽然在实际操作的时候我们不需要把所有的项都写出来，但那些没被写出来的项在我们大脑里所形成的迷雾并不能掩盖这种算法的冗长繁琐.

S10=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10①

S20-S10=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13+a14+a15+a16+a17+a18+a19+a20-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10)=a11+a12+a13+a14+a15+a16+a17+a18+a19+a20 ②

用②-①得

S20-S10-S10=a11+a12+a13+a14+a15+a16+a17+a18+a19+a20-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10)

=(a11-a1)+(a12-a2)+(a13-a3)+(a14-a4)+(a15-a5)+(a16-a6)+(a17-a7)+(a18-a8)+(a19-a9)+(a20-a10)

= 10d x 10

⇒

10d x 10 = S20-S10-S10 = 1220-310-310

d = 6

将d=6和Sn=10 代入Sn=na1+n(n-1)d/2

S10 = 10a1 + 10 x ( 10 - 1) x 6/2

310 = 10a1 + 10 x ( 10 - 1) x 3

a1 = 4

⇒

S30 = 30 x 4 + 30 x ( 30 - 1) x 6/2

= 2730

②

基于以上推论，按照逻辑，想要发现数字多且复杂的等差数列{an}中的算法规律，简易的探索方式应当是先取此等差数列{an}中简单的前四个数字，或者是在此{an}中任意筛选出四个连续的数字，用它们做推导测试，进而发现高斯的那种从1加到100的算法，而不是找一大堆数字把自己搞得晕头转向，这不合理。

无论是搞数学，还是搞物理、化学、生物，想要找出规律或原理，都是先减少变量，然后从可控变量中去找它们相互之间的关系，哪有一拿到问题就往复杂去搞的。

从三千六百多年以前古人最早发现的等差数列的例子中，我们看到的也都是从少数几个数字去推论数列，哪有搞一大堆数字往复杂去想的，下边古埃及的《莱因德数学纸草书》里边的一道题目就展示出了这种逻辑规律.

【题目】google翻译：100 块面包要分给五个人，这五个人的面包份额要按等差级数递增，这样连续的份额总是相差一个固定的差值，即 Δ. 此外，三个最大份额的总和要等于两个最小份额的总和的七倍.求出 Δ 并将其写成埃及分数.

设这5人所分到的面包数量分别为a+2d，a+d，a，a-d，a-2d,

a是中间项，d是公差，

⇒

(a+2d) + (a+d) + a + (a−d) + (a−2d) = 100 ①

(a+2d + a+d + a) / 7 = a−d + a−2d ②

a = 20

d = 55/6 = 9 + 1/6

a+2d = 20 + 2x(55/6) = 115/3 = 38 + 1/3

a+d = 20 + 55/6 = 175/6 = 29 + 1/6

a-d = 20 - 55/6 = 65/6 = 10 + 5/6

a-2d = 20 - 2 x (55/6) = 5/3 = 1 + 2/3

验证

(a+2d + a+d + a) / 7 = a−d + a−2d

⇒

(115/3)+(175/6)+20 = 525/6 = 7x[(65/6)+(5/3)]

用等差中项公式(2A=a+b)验证

2a = (a+d) + (a−d) = (a+2d) + (a−2d)

2x20 = (65/6)+(175/6) = (5/3)+(115/3)

下边这道五人分五钱的题目，也是从少数几个数字做推论的数列，它出自两千一百多年前西汉的《九章算术》，与上边《莱因德数学纸草书》中五人分100条面包的题目在形式上完全一致，只是换了一下数字而已.

《九章算术》比《莱因德数学纸草书》大约要晚出现一千五百年，也许在人类历史这条长河中，数学一直在随波逐流，数学上的推广和交流一直都存在，也许分面包的问题从古埃及流传到西汉后变成了分钱的问题.

像这种用少数几个数字做推论的数列在《莱因德数学纸草书》和《九章算术》中有很多.

【题目】《九章算术》：今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等。问：各得几何？答曰：甲得一钱六分钱之二，乙得一钱六分钱之一，丙得一钱，丁得六分钱之五，戊得六分钱之四。

设甲分到的钱为a1，乙a2，丙为a3，丁为a4，戊为a5，公差为d

⇒

=5a1 + [5x(5-1)]d/2 = 5 ①

a1 + a2 = a3 + a4 + a5 ②

⇒

5a1 + 10d = 5 ③

a1 + a1 + d = a1 + 2d + a1 + 3d + a1 + 4d

-a1 - 8d = 0 ④

⇒

a1 =- 8d， 把它代入③

5x(- 8d)+ 10d = 5

d = -1/6，把它代入③

5a1 + 10x(-1/6) = 5

⇒

a1 = 8/6 = 1+2/6 (一钱六分钱之二) = 甲

a2= 8/6 -1/6 = 7/6 = 1+1/6 (一钱六分钱之一) = 乙

a3= 8/6 - 2(1/6) = 1 (一钱) = 丙

a4= 8/6 -3(1/6) = 5/6 (六分钱之五) = 丁

a5 = 8/6 -4(1/6) = 4/6 (六分钱之四) = 戊

验证

8/6(甲) + 7/6(乙)= 15/6 = 1(丙)+ 5/6(丁)+ 4/6(戊)

2a3 = a2 + a4 = a1 + a5

2x1 = (7/6)+(5/6) = (8/6)+(4/6)

上边这两道等差数列的题目，都无法用下边课本里中的公式Sn = n(1+n)/2进行验算，因为Sn = n(1+n)/2这个公式只能用于求解前n个正整数之和的问题，它不能用于求解这种由分数所组成的等差数列的前n项和.

《高中数学选修性必修第二册》

也许古人已经知道了下边课本中所论证的这三个等差数列的公式，也许他们就是用这些公式对这类由分数所构成的等差数列进行运算的，对于古人来说发现这些几何代数规律并不是什么难事.

Sn= n(a1 + an)/2= 5(5/3+155/3)/2 = 100

=na1+n(n-1)·d/2=5(5/3)+5(5-1)·(55/6)·(1/2)=100

(a1+ a2 +...+ an)/n = Sn/n = [n(an + a1)/2]/n

⇒

(a1+ a2 +...+ an)/n = (a1 + an)/2

⇒

[(5/3)+(65/6)+20+(175/6)+(115/3)]/5=20=(5/3+115/3)/2

想必编写教材的专家教授们也都不会相信高斯所编造的故事，因为他们心知肚明，要想发现等差数列的前n项和公式，不是像高斯的故事那样操作的，但课本仍然以“据说”讲述了这个故事，这样不好，数学是一门求真的科学，造了假的东西放进真的东西里，会显得不顺眼.

而且传播高斯这个虚假故事的副作用也是很明显的，这会助长教学上的不良风气，会促使编写习题集的商家把小孩子当成数学天才看待，这就是为啥小学数学的习题集里会充斥着大量超大数字的数列问题之原因.

高斯的故事让人们错误地以为数列中的规律不是从最简单的几个数字中发现的，而是从最复杂的堆积如山的数字里发现的，这会让人们失掉循序渐进学习知识和追求原理的耐性，很多时候塑造天才的故事总是在误导和毒害急功好利的世俗的人们.

③

这是google翻译的中文版

https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression#cite_note-hayesreckoning-1

如果高斯所讲述的求和等差数列的故事是真的，那也不可能是从1加到100的问题，那也只会是类似古人所提出的那种只有几个数字所组成的等差数列的问题.

方舟子《高斯巧算数列的传说是真是假？》：按萨托里尔斯的说法，这个故事也是高斯自己讲的。人的记忆是不可靠的，人们在回忆小时候的事件时很容易出现偏差。如果有父母、教师、同学的回忆作为佐证，会更为可信。可惜没有。萨托里尔斯强调高斯对细节描述的准确、一致，但是其回忆的细节有的让人难以置信。例如在那个小学速算的故事中，它提到做完题目的学生把写字板翻过来放在大桌子上，按照顺序一个个叠放上去，最后再翻转过来，第一个放的变成了在最上面。但是课堂上据说有大约一百名的学生。如果叠放一百张纸当然没问题，但是要叠放一百个写字板就大有问题，不可能垒那么高。又如，它说教师布置的题目是计算一个数列的和，但是又说在高斯做完后其他学生“继续数数、乘、加”。如果他们是用笨办法算数列的和的话，为什么会用到“乘”呢？这个故事即使是真实的，高斯在讲述时也加入了想像。......1937年，美国数学家埃里克·贝尔（E·T·贝尔）在其名著《数学精英》中，甚至说高斯解的题类似于81297+81495+81693+……+100899。贝尔没有说这就是高斯解的题目，只是举例说明，但这个例子举得很不好，学生的写字板根本写不下这么多的大数字。......也有的觉得让小学生加这么多数字未免太残酷，改成了从1加到10；还有的觉得从1加到100太简单了，干脆改成是从1加到1000。还有不少人把贝尔的举例当成史实，说高斯解的就是那个复杂的数列。

从下边这张统计表可以看到，最早讲高斯这个故事的Sartorius（萨托里尔斯）并没有讲述高斯具体算了个啥数列问题，更没有讲述高斯计算的方法和公式. 从这张表还可以看到配合高斯编故事的小说家和数学家有很多很多，这就类似于中医粉跟着老中医编故事骗人，区别在于量级不同，帮高斯编造故事的名单只跨越了三个世纪，帮老中医编故事的名单却贯穿了古今中外.

④

E·T·贝尔《数学大师从芝诺到庞加莱》：阿基米德，不但是古代最伟大的智者，同时也是彻底的现代派，他和牛顿完全可以互相理解。要是阿基米德能活到现在，去听数学和物理的研究生课程，那么他很可能会比爱因斯坦、玻尔(Bohr)、海森伯 (Heisenberg)和狄拉克(Dirac)等人更了解他们自己。全部历史上任何三个“最伟大”的数学家的名单都将包括阿基米德的名字。通常与他相联系的另外两个名字是牛顿 (1642~ 1727)和高斯(1777~ 1855)。要是考虑到在这些巨人各自生活的时代，数学和物理学的相对充足或贫瘠，并依据他 们所处的时代背景来评价他们的成就，一些人会将阿基米德排在首位。要是古希腊的数学家和科学家追随阿基米德而不是追随欧几里得、柏拉图和亚里士多德(Arist otle)，他们可能在两千年前就轻而易举地进入了由笛卡儿 (1596~1650)和牛顿在17世纪肇始的现代数学时代，以及由伽利略(1564~1642)在同一世纪开辟的现代物理学时代。

怀特海：“欧洲哲学传统最可靠的一般特征在于，它是由对柏拉图的一系列脚注组构成的。”有人借此比喻：“欧洲科学传统最可靠的一般特征在于，它是由对阿基米德的一系列脚注构成的。”

T.L.希斯：如果你仔细阅读阿基米德的著作，那么这位古代最伟大数学天才的才华一定会让你敬佩到五体投地。

T.L.Heath：Our admiration of the genius of the greatest mathematician of antiquity must surely be increased, if that were possible, by a perusal of the work before us.

E·J·戴克斯特霍伊斯：阿基米德首次建立了数学与力学之间的密切联系，这对物理学和数学都具有深远的意义。

E. J. Dijksterhuis：Archimedes is thus the first to establish the close interrelation between mathematics and mechanics, which was to become of such far-reaching significance for physics as well as mathematics.

估计高斯是为了让人吹捧他小时候聪明才编了一个故事，搞搞偶数和奇数，在几个数字里找到一个规律就拼命像老中医一样编故事忽悠人没啥意思，没啥了不起.

真正的天才是阿基米德，他把偶数和奇数所产生的数字规律用在了寻找物理定理上，他不但用有理数证明了杠杆原理，他甚至还用无理数证明了杠杆原理.

在等差数列中找到等差中项不是什么大发现，在变化无穷的杠杆上找出终极重心才是宇宙的第一发现，只有阿基米德能配得上古今最伟大数学家兼科学家这一称号，他当之无愧.

《阿基米德全集·论平面图形的平衡》

《论平面图形的平衡① · 命题 6》中的“ex aequali”被翻译成了“等量原则”， 其实“ex aequali”是“成首末比例（出自《原本·第五卷·命题 22》）”的意思.

LE = EH，LE / N + EH / N = 偶数（《几何原本 · 第九卷·命题 21 & 命题 22》）

DH = DK， DH / N + DK / N = 偶数

B / A = CE / DC = 2CE / 2DC = HK / LH

（LH + HK ）÷ N = （A + B ）÷ O

LE + EC = LC = CK = DK + CD

命题6的证明过程是这样的，两个放在杠杆两边距支点距离不相等、且重量不相等的量，被等量代换成了放在杠杆两边距支点距离相等、且重量相等的量，然后根据阿基米德的《论重心》中的理论（已佚失）以及《论平面图形的平衡① · 命题 5》，可推理得出：A 和 B 的重心在 C 处（上边阿基米德著作截图中的“A”“B”“C”）.

阿基米德解决难题的方式是将杠杆与物体都切割均分为一样大小的单位，然后重新分配，他将杠杆上的复杂状况转化成了杠杆上的简单状况（如上图所示），经过梳理（等量代换）之后，杠杆恢复到了《论平面图形的平衡① · 公设1》之状况：相等距离上的相等重物是平衡的，而不相等距离上的相等重物是不平衡的，且向距离较远的一方倾斜.

等量代换之后，被重新均分分配在杠杆两边的物体在重量及距支点的距离上，每一对都是一 一对应的：1对应8；2对应7；3对应6；4 对应5（注意：1、2、3、4、5、6、7、8，是序列号），它们可被看作是两个重量相等的物体被均匀分割成了 10 份， 1+2+3+4 的重量等于 5+6+7+8 的重量（注：1、2、3、4、5、6、7、8，是序列号），两边各自合并后，其实它们可以被看成两个物体。确实又回到了最容易被理解的《论平面图形的平衡① · 公设 1》之状况（如下图所示）.

根据《几何原本 · 第五卷 · 命题 1 》：如果有任意多个量，分别是同样多个量的同倍数量，则无论这个倍数是多少，前者的和也是后者的和的同倍数【ma+mb+mc = m（a+b+c）】.

（1+2+3+4）：（5+6+7+8）= 1，因为这些重物之间存在这样的等量关系（注：1、2、3、4、5、6、7、8，是重物的序列号）：1：8 = 2：7 = 3：6 = 4：5 =（1+2+3+4）：（5+6+7+8）= 1（注：1、2、3、4、5、6、7、8，是重物的序列号）.

根据《几何原本 · 第七卷 · 定义 1》：每个单独的东西，都可以被看作一个单位，可称之为“1”.

我们可以将左边的物体1+2+3+4，和右边的物体5+6+7+8，看作两个相等的“1”.

左右两边物体距支点之距离也是相等的，所以距离也可以被看作两个相等的“1”.

杠杆两边的重量都是单位“1”，它们距支点的距离也都是单位“1”，所以两边的重量之比等于它们距离支点的距离之比.

平衡杠杆的数学公式被推导出来了，杠杆两边的重物与它们距支点的距离，可被描述为：1 : 1 = 1 : 1（重量：重量 = 距离 ：距离）.

到此为止，阿基米德想告诉我们的真理也就一目了然了：杠杆两边物体的重量可以有无穷多变化，它们距支点的距离也可以有无穷多变化，在无穷变化之中，只要两边的重物能让杠杆保持平衡，它们的重量之比与它们距支点的距离之比就能被转化还原为：F₁ : F₂ = D₂ : D₁ = 1 : 1 ，也即无穷变化中的杠杆上的重心总是能被转化为杠杆上的中点（“即C是LK的的中点，所以C是排列在LK上的系统的重心”）.

⑤

从字面意思上看，会让读者觉得《论平面图形的平衡》是纯数学论证.我觉得其实阿基米德不是用纯数学的方式论证杠杆原理的，阿基米德是把人人都能设计得出来且看得明白的杠杆实验（比方跷跷板或天平）转化为公理后，作为大前提，再往下推导的，经过严密的数学推导之后才得出了杠杆原理这一科学原理.

物理学家恩斯特·马赫在《力学及其发展的批判历史概论》中质疑并批判阿基米德对杠杆原理的证明，科学史家E·J·戴克斯特霍伊斯在自己所翻译并论述阿基米德的著作《阿基米德》中驳斥了马赫的批判.

翻译《力学及其发展的批判历史概论》的译者李醒民表明，马赫几乎批判了力学中的所有概念和人物，他批判阿基米德，批判伽利略，批判批判牛顿，批判爱因斯坦......

霍金很鸡贼，不诚实，不知道是不是因为存在马赫与E·J·戴克斯特霍伊斯的这场争论，所以才导致了霍金没有把阿基米德的《论平面图形的平衡》和《论浮体》收入自己所选编评注的数学和物理著作合集《上帝创造整数——改变历史的数学名著》和《站在巨人的肩上》这两本书中.除以上两部阿基米德的著作外，霍金把阿基米德其他几乎所有的著作都收集放入了《上帝创造整数——改变历史的数学名著》，霍金硬是把阿基米德变成了一个纯数学家，这不公平，虽然菲尔兹奖奖章上刻的是阿基米德的肖像，但是用纯粹数学家这一称号无法完整定义阿基米德的天才.

菲尔兹奖奖章上刻着阿基米德的肖像

还有，如果说阿基米德所论证的杠杆原理是在扯淡，那么伽利略所论证的惯性原理（这部分内容我放在文末⑥）也就变成了扯淡，因为伽利略所用到的方法与阿基米德所用到的方法是一脉相承的，但霍金却把满是阿基米德论证方式的伽利略的《关于两门新科学的对话》选入了《站在巨人的肩上》.

很多教授和专家都认为含有无理数的《论平面图形的平衡① · 命题 7》的证明不完整，翻译《阿基米德全集》的译者朱恩宽给出了命题7的补充证明（下边四页书里的内容）.

mB/(2n²)

⇒

mB/(2n²) - mB/(2n²)

⇒

0

⑥

爱因斯坦《关于理论物理学的⽅法》：我们推崇古代希腊是西⽅科学的摇篮。在那⾥，世界第⼀次⽬睹了⼀个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地⼀步⼀步推进，以致它的每⼀个命题都是绝对不容置疑的——我这⾥说的就是欧⼏⾥得⼏何（欧⼏⾥得：《几何原本》）。推理的这种可赞叹的胜利，使⼈类理智获得了为取得以后的成就所必需的信⼼。如果欧⼏⾥得未能激起你少年时代的热情，那么你就不是⼀个天⽣的科学思想家。

但是在⼈类成熟到能获得⼀种概括全部实在的科学以前，还需要有另⼀种基本的真理，这种真理只是随着开普勒和伽利略的到来才成为哲学家的公共财富。纯粹的逻辑思维不能给我们任何关于经验世界的知识； ⼀切关于实在的知识，都是从经验开始，又终结于经验。⽤纯粹逻辑⽅法所得到的命题，对于实在来说是完全空洞的。由于伽利略看到了这⼀点，尤其是由于他向科学界谆谆不倦地教导了这⼀点，他才成为近代物理学之⽗——事实上也成为整个近代科学之⽗。

爱因斯坦《相对性：相对论的本质》：古典⼒学所根据的是伽利略原理：⼀个物体只要不受别的物体的作⽤ ，它总是沿着直线作匀速运动。

爱因斯坦《物理学的基本概念及其最近的变化》：古典⼒学的原理是由伽利略和⽜顿奠定的， 欧⼏⾥得⼏何（欧⼏⾥得：《几何原本》）就是它的基础。

估计高斯是为了让人吹捧他小时候聪明才编了一个故事，搞搞偶数和奇数，在几个数字里找到一个规律就拼命像老中医一样编故事忽悠人没啥意思，没啥了不起.

欧几里得找到等比数列中的“比例中项”（即高中数学中的“等比中项”）不是什么大发现，伽利略用“比例中项”论证出惯性定律才是大发现.

在 1971 年的阿波罗15号任务中，宇航员戴维·斯科特证明了伽利略的说法是正确的：在月球上，所有受到引力影响的物体的加速度都是相同的，即使是锤子和羽毛也是如此。

当你翻开牛顿那震翻了全宇宙的鸿篇巨著《自然哲学之数学原理》时，“一直向前均匀地运动”这一概念扑面袭来.

公理或运动的定律

定律 I

每一个物体都保持它自身的静止的或者一直向前均匀地运动的状态，除非由外加的力迫使它改变它自身的状态为止。抛射体保持它们自身的运动，除非由于空气的阻力而被迟滞，以及被重力向下推进。一个转轮，它的部分被它们的结合持续拉离直线运动，不停止转动，除非被空气迟滞。但是行星和彗星的较大的本体，在阻力较小的空间中，保持它们自身的前进运动和圆周运动很长的一段时间。

AXIOMS, OR THE LAWS OF MOTION

Low 1

Every body perseveres in its state of being at rest or of moving uniformly straight forward , except insofar as it is compelled to change its state by forces impressed .

Projectiles persevere in their motions , except insofar as they are retarded by the resistance of the air and are impelled downward by the force of gravity.A spinning hoop , which has parts that by their cohesion continually draw one another back from rectilinear motions , does not cease to rotate , excep insofar as it is retarded by the air . And larger bodies-planets and comets - preserve for a longer time both their progressive and their circular motions , which take place in spaces having less resistance.

【The Principia : Mathematical Principles of Natural Philosophy. by Isaac Newton (Author), I. Bernard Cohen (Translator), Anne Whitman (Translator),Julia Budenz (Translator)】

牛顿在定律和定义中对“一直向前匀速直线运动”这种性质（惯性）都没有做太多的分析和解释.

教科书说伽利略用“推理的方法”知道了“小球将永远运动下去”，这说法没错，伽利略的确只能通过推理的方法才能够知道这一物理规律，因为这实验没法做，但伽利略的推理不是教科书中的那种推理.

教科书的“推导”简陋粗糙，并不是伽利略著作中的推理. 伽利略思考问题的方式是无比严谨的，他不会随随便便粗制滥造，他跟欧几里得和阿基米德在推理方式上是一脉相承的.

估计牛顿和牛顿之后的物理教科书都没有经过严密的推理论证，就将“小球将永远匀速直线运动下去”作为事实和前提写进了牛顿三大定律.

这一切结果都是牛顿的坏造成的，他把伽利略的原创命题直接抄进了自己的书里，他删除了伽利略的推导过程，他只抄袭了这些命题的推导结果，是他没有把《自然哲学之数学原理》写好，从而导致了如今物理教科书的粗制滥造，变得没了逻辑根据，以至于物理变得难以理解，学生学起来就很难很费劲了.

搞得连大名鼎鼎的费曼都不知道牛顿第一定律（惯性定律）的源头在哪里.

《费曼物理学讲义》费曼 著

为什么你会觉得物理很难学呢？因为牛顿是一个坏人，他没有为你学习物理指明方向.

伽利略是一个好人，他为我们学习物理指明了方向.

编写物理教科书者也发现了牛顿的问题，所以他们就将伽利略对此性质的推导过程简化归结为“伽利略认为这是摩擦作用的结果。若没有摩擦，球将永远运动下去”作为补充放进了课本里.

高中物理必修一

马赫在《力学及其发展的批判历史概论》中也是这样阐述伽利略的理论的，很可能现在教科书中对伽利略理论的阐述就是来自马赫的论述，仔细读过伽利略的推导过程之后，就会明白马赫这样的推导是错误的.

马赫说伽利略是通过“实例instance”（应该就是伽利略在相关命题中所说的“实验的experiment”）发现惯性定律的，但以四百年前的技术条件，只做实验是无法推导出出惯性定律的，伽利略是以实验为基础，加之详尽的数学推导之后才发现了惯性定律.

《力学及其发展的批判历史概论》马赫 著，李醒民 译

马赫知道，要想发现惯性定律，就必须先发现“物体将继续以恒定的速度运动得无限长和无限远”这种性质，即必须先知道“一直向前匀速直线运动”这一性质.

那么“一直向前匀速直线运动”这种性质是如何被推理出来的呢，它在来到这个世界之前到底经受了什么样的检验呢？牛顿这个坏人，他到底把巨人伽利略想要告诉我们的什么给删除了呢？

答案就在伽利略的巨著《关于力和局部运动的两门新科学的谈话和数学论证》之中，这本书简称为《关于两门新科学的对话》.

《原本 · 第六卷 · 命题13 》，也即“比例中项”，这个命题在《关于两门新科学的对话》中频频出现，几乎贯穿了整本书中所有命题的论证，同样它也贯穿于伽利略对“一直向前匀速直线运动”这种性质的论证过程之中.

欧几里得找到等比数列中的“比例中项”（即高中数学中等比中项）不是什么大发现，伽利略用“比例中项”论证出惯性定律才是大发现.

Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences

推导出“一直向前匀速直线运动”的核心命题就摆在《关于两门新科学的对话 · 第三天》之中，却无人知晓，无人问津，它们是“定理14，命题21”和“问题9，命题23”.

《关于力和局部运动的两门新科学的谈话和数学论证》 伽利略 著，⼽⾰ 译

伽利略在这两个命题中所用到的数学工具基本都出自欧几里得的《几何原本》中的第五和第六卷.

CE ∶ EF = EF ∶ EG

这里用到了《原本 · 第六卷 · 命题13 》求作两条给定的线段的比例中项，若a : x = x : b（也可写成 x : a = b : x），则 ab = x²

比例中项在《高中数学选修性必修第二册》中被称为“等比中项”，它是等比数列中的重要概念。

（设定左边为时间）AC ∶ CE = AC ∶ CE（设定右边为长度）

⇒

AC（时间） ∶ AC（长度） = CE（时间） ∶ CE（长度）

这里的结论出自《关于两门新科学的对话 · 定理3，命题3》，这个命题是以《关于两门新科学的对话 · 定理1，命题1》为基础的， “定理1，命题1”是通过《几何原本· 第五卷 · 定义5》推导出来的。

【定理1，命题1

如果一个始终以常速度运动的质点通过两段距离，则所需要的时间间隔之比等于这两段距离之比，S₁ / S₂ = （v · t₁ ）/（ v · t₂）= t₁ / t₂

【定理3，命题3

如果同一个物体由静止开始分别沿着斜面和垂直面下落，两者有相同的高度，则下落的时间之比等于斜面与垂直面的长度之比。

推论：沿着具有不同倾角但有相同垂直高度的平面，下落所需的时间之比等于平面的长度之比。】

【《几何原本 · 第五卷 · 定义5》：如果a∶b = c∶d，三个关系式ma >==

这里还应用了《原本 · 第五卷· 命题16》：如果a ∶ b = c ∶ d ，则a ∶ c = b ∶ d

取 CF = AC

CE ∶（EF = CE+CF）= EF ∶（ EG=EF+FG）

⇒

（EG = EF+FG）∶ （EF = CE+CF）= EF ∶ CE

这里应用了《原本 · 第五卷· 命题16》：如果a ∶ b = c ∶ d ，则a ∶ c = b ∶ d，d ∶ b = c ∶a

⇒

（EG-EF）∶（EF-CE）= FG ∶CF = EF∶CE

即（EF+FG-EF）∶（CE+CF-CE）= FG ∶CF = EF∶CE

这里应用了《原本 · 第五卷 · 命题19》：如果a∶b = c∶d，且c＜a，d＜b，则a∶b =（a - c）∶（b - d）= c∶d

⇒

CE ∶ EF = CF ∶ FG

∵ CE ∶ EF = CF ∶ FG

CE

⇒

CF

∵ FG = CF + X

∵ GC = CF + X + CF

∴ GC ＞2CF（或2AC）

∵ 2CE ∶ EF = 2CF ∶ FG

∵ 2CE＞EF

∴ 2CF＞FG

∴ 2CF = CF+CF ＞FG = CF + X

∴ X ＜ CF

GC = FG +FC = CF + X + CF

⇒

2CA = 2CF ＜ GC ＜ 3CF = 3CA

然后伽利略以“定理14，命题21”为基础，通过“问题9，命题23”推导出了：如果一个物体一旦获得速度，它就会永不停息地运动下去.

（IM = OG）∶（MN = GF）=（ AC = FC）∶ CE

这里应用了《原本 · 第六卷 · 命题12》：求作给定的三线段的第四项比例项。a ∶ b = c ∶ d（找d的值）。

CF = FG = RN = MN = AC

（OG = IM ）∶（GF = MN ）= FC ∶ CE

（OF = OG+GF）∶（ FG = FC）= OF ∶ FC =（FE = FC+CE）∶ EC

这里应用了《原本 · 第五卷 · 定义14》：如果a∶b = c∶d，则其和比例为（a + b）∶ b = （c + d）∶ d

（OE = OF+FE）∶ [EF = FG（即FC）+CE] = FE ∶ EC

即 OE∶ EF = FE ∶ EC

这里应用了《原本 · 第五卷 · 命题12》：如果a ∶ b = c ∶ d ，则其和比例为（a + c）∶（b + d）= c ∶ d

这里应用了《原本 · 第五卷· 命题16》：如果a ∶ b = c ∶ d ，则a ∶ c = b ∶ d

因为这些线段都是在同一个系统之中，所以它们都是成比例的。

⇒

（设定左边为长度）OE∶ EF = EF ∶ EC（设定右边为时间）

EC（时间） ∶ EF（长度）= EF（时间） ∶ OE（长度）

⇒

EC（时间）∶（ EF = EC+CF）（长度） = FE（时间）∶（OE = CE+CO）（长度）

⇒

[（ EF=EC+CF ）- EC]（时间）∶ [（OE = CE+CO）- CE]（长度）= CF(即时间CA)：CO（长度）

即（EF - CE）（时间） ∶ （OE- CE）（长度）= CF(即时间CA)：CO（长度）

IR变长时，AC变长，

CF = FG = RN = MN = AC

“仔细观察”的意思是，想象直线EO、AS分别围绕点E、A旋转。

当IR = CO = 3AC 时

⇒

（AC = CF）（时间）：CO（长度）= （AC = CF）（时间）：3CA（长度）

IM无限接近等于MN

（IM = OG）∶（MN = GF）=（ AC=FC）∶ CE

（IM = OG）变长，（ AC=FC）变长

CO 无限趋近竖直线.

当IR = CO = 2AC 时，

⇒

（AC = CF）（时间）：CO（长度）=（AC = CF）（时间）：2CA（长度）

（IM = OG）∶（MN = GF）=（AC = FC）∶ CE

（IM = OG）无限变短，（ AC=FC）无限变短， CE无限变长.

直线OE在无限趋近于水平，无限逼近A点的同时，无限向左右两边伸长，

（OE = TX）∶（EF = VX） = （EF = VX）∶ （EC = CX）

物体沿AC滑下后，在TC上通过的距离将是无限延伸的TC，物体从AC滑下获得速度后，将在水平面上永不停息地运动下去.

伽利略让我们领略到了实验+逻辑所产生出的无限威力，这些优美的逻辑推理散发出的是永恒之美，美到令人难以置信，美到令人心旷神怡.

到此为止，一个物体获得速度后，为啥会永不停息地运动下去已经被推导出来了，伽利略用科学的方法预测到了这一结果.

这是伽利略以实验和数学规律为基础通过层层推理计算论证之后才得出的结论，这不是瞎猜乱想的结果，这不是教科书上那种粗糙的逻辑推理.

伽利略只字未提物理课本一再强调的“摩擦作用”和“阻力”，因为那是他在《关于两门新科学的对话 · 第三天》一开篇就论述过了的因素，消除“阻力”是他证明这两个命题的默认大前提，因而无需再强调，关键问题是如何以此大前提为基础条件去论证物体获得速度后将以匀速在水平面上永不停息地运动下去.

在马赫的《力学及其发展的批判历史概论》和高中物理课本的“论述”中，其实是把伽利略的论证阉割掉了，我们没有见到以上那些重要的推论过程.

马赫和高中物理课本的“论述”，其实质是把《关于两门新科学的对话 · 第三天》一开篇的实验和假设（上边这张图里的内容），与“问题9，命题23 · 注释”的后半部分内容搅合在一起，并胡乱删改加工之结果.

上图中的这段推论是紧跟在“问题9和命题23”之后的“注释”，上图中的内容是“注释”开篇的前半部分，可理解为伽利略对“一旦物体获得速度后，将在水平面上永不停息地运动下去”这一性质的强调，其实他不用再多强调什么，这一性质就已经被“定理14，命题21”和“问题9和命题23”完整证明了.

也就是说解决问题的核心逻辑分析是“定理14，命题21”和“问题9和命题23”，这两个命题已可充分证明“物体获得速度后，将在水平面上永不停息地运动下去”这一性质的存在.

在上图中，伽利略推导出的公式可以用高中物理中的公式表示出来，我写在了此段文字的下边.其实现在高中课本中的相关论证在方法上仍然吸收和继承了伽利略对此命题所做的几何论证的精髓，伽利略以自己深厚的数理功力所做的论证穿透了岁月400年，却依然历久弥新.

S△ABC = S1 = 1/2 ( Vo + V ) t = 1/2 ( 0 + V ) t = 1/2 ( Vt )

S▱ADBC = S2 = 1/2 ( V + V ) t = 1/2 ( 2V ) t = Vt

( S▱ADBC ) / ( S△ABC ) = S1 / S2 = Vt / [1/2 (Vt)] = 2

高中物理必修一

再往下，“注释”余下的部分（下边两张图中的内容，即“问题9，命题23 · 注释”），可被理解为“一旦物体获得速度后，将在水平面上匀速地永不停息地运动下去”所导致的可能性结果：物体在滑下斜坡获得速度后，在无外力干涉之情况下，它不会停止，它会以匀速直线的方式一直运动下去，除非在它运动的前方有东西挡住它；如果它运动的前方有一个很大的斜坡挡住它，那么它会在这个大斜坡上继续运动到它从滑下斜坡上滑下时所处的高度后才停止运动.

简而言之，伽利略在“问题9，命题23 · 注释”（下边两张图中的内容）中的推论是：一个物体从倾斜平面上下落之后，它无论在水平面上走多久，走多远，当它再次遇到斜面时，它还会上升到它滑下时的那个高度.

BD = EB = 1/2 ( Vo + V ) t1 = 1/2 ( 0 + V ) t1 = 1/2 (Vt1 )

BC = AB = 1/2 ( Vo + V) t2 = 1/2 ( 0 + V) t2 = 1/2 ( Vt2 )

BD / BC = EB / AB = [1/2 (Vt1 )] / [1/2 ( Vt2 )] = t1 / t2

伽利略在“注释”最后谈到的已被证明过了的定理就是“定理3，命题3”所得出的结论，我们也可以用高中物理中的公式把它表达出来，如上所示.

马赫和物理课本乱倒腾了一气，把伽利略严密的数学论证搞得乱七八糟.

《关于力和局部运动的两门新科学的谈话和数学论证》 伽利略 著，⼽⾰ 译

高斯：任何一个正常人，只要像我这样持续不断地思考，必然能够和我得到同样的结论。