上古点格图研究|古今数学：中小学数学教材亟待“双剪”

文/李建恒[20241001]

金秋十月，国庆假日，这是个特殊的日子，在此，透过“双减”谈“双剪”。

[双减] 面向负担，减作业，减外培。

依据2021年7月中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，在我国教育领域，落实以“减作业、减外培”为目标的“双减”政策。

“双减”推行三年来，许多校外培训进入“隐形状态”。现简要分析如下：①校外培训“减不下来”的根本原因是潜在的市场巨大；②这个市场的形成与“家长焦虑”高度相关；③家长(包括高学历的家长)无法辅导孩子是产生焦虑的内在因素；④知识精英们开发出“望尘莫及”的课程是产生焦虑的外在因素。

举一个典型例子：小学“奥数”。初次接触“奥数”的家长都会发现：一个不懂“未知数”、不会“解方程”的小学生，学了“奥数”后可以求解复杂的应用题，这令家长称奇，这是其一。其二，“卖课”者还会给出一些“新术语”、“新模型”，使得“奥数”的奥秘更加深不可测，与此同时，在家长心目中就会滋生一个百思不得其解的“盲盒”。再穷不能穷孩子，花钱培训补短板，于是乎，“卖课方”与“买课方”一拍即合，达成了“周瑜-黄盖”般的默契。

奥秘的缔造者往往处于知识精英阶层，他们一般不会告诉家长“奥数”的题目源于何处，有了这种“信息差”和神秘感，精英们赢得的既有崇拜，更有金钱。

[双剪] 面向教材，剪伪史，剪杂乱。

以某小学数学课本为例，凡与数学发展史有关的“小贴士”或“小故事”，多以宣扬西方数学或数学家为主，这些“伪史”需要剪去。参见9月份发布的文章：《你真的了解“小数”吗？》《我国最早的数字并非源于甲骨文》《我国的分数运算出现于新石器时代》《此“方程”非彼方程》《我国古老算术中有无“未知数”？》《两种不同的平年闰年》。

在“上古点格图研究”中，为了把“上可为国正史、下可为家育人”落到实处，本人把“格图”和古老算术作为一个重要突破口。自2024年暑假启动宣传以来，在前期研读古代“算经十书”的基础上，又对小学、初中、高中的二十多册数学课本和多家培训机构的“奥数”进行了综合分析。

如果我们把古老算术(包括格式算法和古代算经)看作是一棵树，把近代数学(包括公式算法和“奥数”)看作是一棵树，可以发现这两棵树之间存在“嫁接”关系和枯荣变换。

研究认为：以“格图”为代表的“格式算盘”是根系，古代算经是枝干，近代数学是树冠，小学奥数是花果。所谓“双剪”，一是要剪去教材中的伪史，矫正被扭曲的数学发展史，二是要修剪教材中不适宜的知识图谱，以期优化知识导图、控制知识体量、理顺枝叶分布、便于知识转化。

在修剪过程中，“方法、内容”是基本遵循，包括：格式算法、算经题库；公式算法、经典例题；勾股图式、几何图形。以期解决交叉现象、套叠现象、碎片现象、纷繁现象。

[双育] 面向学生，教材适宜，家校共育。

1.算法图式的简洁性。古老的格式算法、勾股图式非常简洁，有利于理解和记忆。近现代的公式算法具有很强的数学抽象性，其典型公式具有基石作用。

2.知识图谱的合理性。作为数学教材，在顶层设计时，构建的知识图谱要结构合理，内容适用。然而，某些教材却存在“不合理性”：

①某小学数学教材共12册，其知识“按册分层”(横向)有余，“多册贯通”(纵向)不足。比如：图形与几何(或空间与几何)，在12册中分述于二十多个章节，存在“叠层”现象。

②“勾股图式”是几何学的知识主干，其中的“勾股定理、乘方开方、杨辉三角”是前后有序的知识板块。然而，在某初中教材中，初一(七年级)下册讲述“平方根、立方根(开方)”，初二(八年级)上册讲述“杨辉三角”，初二(八年级)上册讲述“勾股定理”，存在本末倒置现象。

③某“奥数”教材中列有50余个问题，结构化程度低。诸如“归一问题”，用其可以涵盖“单归一、复归一、反归一、归总”等问题；诸如“行程问题”，用其可涵盖“相遇问题、追及问题、流水行船问题、列车行驶问题、环路行程问题、时钟指针行走问题”等。50余个问题“扁平化”排列，存在碎片化现象。

3.家校共育的匹配性。家校共育，应以课堂学习为主，家庭辅导(在此不提及方式方法)为辅。家长是孩子的第一责任人。从目前情况看，中小学数学课本上许多与数学史有关的内容都不同程度地存在瑕疵或谬误，这种现象在今后相当长的时间内无法得以矫正，这需要家长去辨别。此外，孩子上学犹如在前方参战的士兵，家长是后勤保障者，在有条件的情况下，可以引领或帮助孩子学会总结归纳，以期实现知识的浓缩与提纯。